OPTIM：基于HJB方程与神经网络的金融投资组合优化求解器

一个使用Hamilton-Jacobi-Bellman方程和神经网络解决高维金融投资组合优化问题的开源项目，通过前向随机模拟和神经网络控制策略，为复杂金融决策提供数学严谨的优化框架。

• 原作者/维护者： arnavydv
• 来源平台： GitHub
• 原始标题： OPTIM
• 原始链接： https://github.com/arnavydv/OPTIM
• 发布时间： 2026年6月

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金融投资组合优化是量化金融领域的核心问题之一。传统的优化方法如马科维茨均值-方差模型在处理低维问题时表现良好，但当投资组合维度增加（例如涉及多种资产类别、复杂衍生品或跨市场配置）时，维度灾难（curse of dimensionality）使得传统数值方法变得不可行。

本项目采用了一种更先进的数学框架——Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，结合深度神经网络的函数逼近能力，为高维投资组合优化问题提供了一个可扩展的求解方案。

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Hamilton-Jacobi-Bellman方程是随机控制理论中的核心方程，它描述了在连续时间动态系统中，价值函数随时间和状态的变化规律。对于投资组合优化问题，HJB方程的形式为：

∂V/∂t + sup_π { L^π V } = 0

其中V是价值函数，π是控制策略（投资组合配置），L^π是生成元算子。

传统上，HJB方程通过有限差分法或有限元法在网格上求解。然而，当状态空间维度超过3-4维时，网格点的数量呈指数级增长，使得计算成本变得不可接受。这就是著名的"维度灾难"。

本项目采用神经网络来逼近价值函数V(t, W)和控制策略π(t, W)，其中t是时间，W是财富状态。神经网络的优势在于：

1. 维度无关性：神经网络的计算复杂度与输入维度呈多项式关系，而非指数关系
2. 泛化能力：训练后的网络可以在未见过的新状态点上给出合理的估计
3. 端到端优化：可以直接优化最终目标函数，无需显式求解PDE

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项目采用经典的Merton框架，描述财富在风险资产和无风险资产之间的动态分配：

dW_t = r·W_t·dt + π(t,W_t)·(μ - r)·dt + π(t,W_t)·σ·dB_t

其中：

• W_t：t时刻的财富
• r：无风险利率
• μ：风险资产的期望收益率
• σ：风险资产的波动率
• π(t, W_t)：投资于风险资产的比例（控制变量）
• dB_t：布朗运动增量

项目定义了两个神经网络：

1. pi_star网络

输入：时间t和当前财富W 输出：最优控制策略π(t, W)

这个网络直接学习最优投资组合配置策略，将状态映射到行动。

2. Z_net网络（脚手架）

输入：时间t和当前财富W 输出：Z(t, W)

Z网络用于前向-后向算法的后向传播部分，辅助价值函数的估计。